Aquí voy a ir poniendo cosas del número pi, sobre todo para que sepas calcularlo con un ordenador cualquiera. Me encanta combinar las matemáticas con los ordenadores. ¿Y a ti?
APROXIMACIONES
DE PI
Hola, ¿sabrías cómo calcular el número pi con el ordenador y
una hoja de cálculo como Excel? Hay personas que calculan millones de cifras
decimales y las analizan, intentado buscar patrones de repetición y cosas
sorprendentes. Te propongo tres métodos:
Método de
Montecarlo
Esta es la primera manera que propongo, con el método de
Montecarlo:
OBJETIVO:
|
APROXIMAR
EL NÚMERO PI CON UN ORDENADOR
|
MÉTODO
|
DE
MONTECARLO
|
CÓMO SE HACE:
|
DOY 10000
PAREJAS DE VALORES XY COMPRENDIDOS ENTRE -1 Y +1 EQUIDISTRIBUIDOS Y
EQUIPROBABLES
LA CLAVE ES CONTAR CUÁNTOS VALORES ESTÁN DENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO UNIDAD X^2+Y^2=1. HAGO LA RELACIÓN ENTRE LOS PUNTOS DENTRO Y LOS CALCULADOS, QUE EN MI CASO SON 10000. REALMENTE ESTOY COMPARANDO EL ÁREA DEL CÍRCULO CON RADIO PI*1^2 Y CON EL CUADRADO DE LADO 2, PUES VOY DE -1 A 1 Y ESO SON 2 UNIDADES. EN CONCLUSIÓN, ESTOY CALCULANDO PI*1^2/4=PI/4. PARA QUE SE PAREZCA A PI, MI RESULTADO COCIENTE LO HE DE MULTIPLICAR POR 4. FINALMENTE ANALIZO EL ERROR ABSOLUTO QUE COMETO Y EL ERROR RELATIVO. |
RESULTADOS:
Ea
|
0,006807346
|
||
Er
|
0,21668457%
|
||
7871
|
ESTÁN DENTRO
|
3,1484000000
|
ES LA APROXIMACIÓN DE PI CONSEGUIDA
|
10000
|
PUNTOS TOTALES
|
EJEMPLO DE PUNTOS:
X
|
Y
|
DENTRO DE
CIRC?
|
0,804487
|
-0,90822
|
0
|
-0,10668
|
0,665988
|
1
|
0,110475
|
0,114628
|
1
|
…
|
…
|
Método de
áreas
Esta es la segunda manera que propongo:
OBJETIVO:
|
APROXIMAR
EL NÚMERO PI CON UN ORDENADOR
|
MÉTODO
|
DE ÁREAS DE
UN CUARTO DE CÍRCULO
|
CÓMO SE HACE:
|
DOY 1000
10000 50000 Y 100000 VALORES DE X
COMPRENDIDOS ENTRE 0 Y +1. CON LA
FUNCIÓN DE MEDIA CIRCUNFERENCIA SACO LOS Y=+RAIZ(1-X^2). FORMO RECTÁNGULOS DE
BASE EL SALTO EN X Y DE ALTURA Y.
LA CLAVE ES MULTIPLICAR LA BASE POR LA ALTURA DE LOS RECTÁNGULOS Y SUMAR EL ÁREA RESULTANTE. REALMENTE ESTOY CALCULANDO EL ÁREA DE UN CUARTO DE CÍRCULO QUE ES A=PI*R^2/4. COMO R=1, AREA=PI/4. PARA QUE SE PAREZCA A PI, MI RESULTADO LO HE DE MULTIPLICAR POR 4. FINALMENTE ANALIZO EL ERROR ABSOLUTO QUE COMETO Y EL ERROR RELATIVO. |
RESULTADOS Y EJEMPLO
DE PUNTOS
Ea
|
0,001962813
|
0,000198824
|
3,98948E-05
|
1,99629E-05
|
||||||
Er
|
0,06247829%
|
0,00632877%
|
0,00126989%
|
0,00063544%
|
||||||
0,001
|
3,143555467
|
0,0001
|
3,141791478
|
0,00002
|
3,141632548
|
0,00001
|
3,141612616
|
|||
salto
|
Área
|
salto
|
Área
|
salto
|
Área
|
salto
|
Área
|
|||
x
|
y
|
x
|
y
|
x
|
y
|
x
|
y
|
|||
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|||
0,001
|
0,9999995
|
0,0001
|
0,999999995
|
0,00002
|
1
|
0,00001
|
1
|
|||
0,002
|
0,999998
|
0,0002
|
0,99999998
|
0,00004
|
0,999999999
|
0,00002
|
1
|
|||
0,003
|
0,9999955
|
0,0003
|
0,999999955
|
0,00006
|
0,999999998
|
0,00003
|
1
|
|||
0,004
|
0,999992
|
0,0004
|
0,99999992
|
0,00008
|
0,999999997
|
0,00004
|
0,999999999
|
|||
0,005
|
0,9999875
|
0,0005
|
0,999999875
|
0,0001
|
0,999999995
|
0,00005
|
0,999999999
|
|||
0,006
|
0,999982
|
0,0006
|
0,99999982
|
0,00012
|
0,999999993
|
0,00006
|
0,999999998
|
|||
0,007
|
0,9999755
|
0,0007
|
0,999999755
|
0,00014
|
0,99999999
|
0,00007
|
0,999999998
|
Método de
longitudes
Esta es la tercera manera que propongo:
OBJETIVO:
|
APROXIMAR EL
NÚMERO PI CON UN ORDENADOR
|
MÉTODO
|
DE
LONGITUDES DE UN CUARTO DE SEMICIRCUNFERENCIA
|
CÓMO SE HACE:
|
DOY 1000
10000 Y 100000 VALORES DE X
COMPRENDIDOS ENTRE 0 Y +1. CON LA FUNCIÓN
DE MEDIA CIRCUNFERENCIA SACO LOS Y=+RAIZ(1-X^2). CON LA FÓRMULA DE DISTANCIA
ENTRE DOS PUNTOS d=raiz(dif_x^2+dif_y^2) SACO LAS LONGITUDES DE LOS PEQUEÑOS
SEGMENTOS.
SI LO SUMO TODO, ME DA LA LONGITUD DE UN CUARTO DE CIRCUNFERENCIA QUE ES 2*PI*R/4=PI/2, PUES R=1. PARA QUE SE PAREZCA A PI, MI RESULTADO LO HE DE MULTIPLICAR POR 2. FINALMENTE ANALIZO EL ERROR ABSOLUTO QUE COMETO Y EL ERROR RELATIVO. |
RESULTADOS Y EJEMPLO DE PUNTOS
Ea
|
-9,29724E-06
|
-1,1603E-06
|
-3,92464E-06
|
|||||||
Er
|
-0,00029594%
|
-0,00003693%
|
-0,00012493%
|
|||||||
0,001
|
Aprox de pi
|
3,141583356
|
0,0001
|
Aprox de pi
|
3,141591493
|
0,00001
|
Aprox de pi
|
3,141588729
|
||
x
|
y
|
distancia
entre pts
|
x
|
y
|
distancia
entre pts
|
x
|
y
|
distancia
entre pts
|
||
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|||||
0,001
|
0,9999995
|
0,001
|
0,0001
|
1
|
0,0001
|
0,00001
|
1
|
1E-05
|
||
0,002
|
0,999998
|
0,001000001
|
0,0002
|
0,99999998
|
0,0001
|
0,00002
|
1
|
1E-05
|
||
0,003
|
0,9999955
|
0,001000003
|
0,0003
|
0,99999995
|
0,0001
|
0,00003
|
1
|
1E-05
|
||
0,004
|
0,999992
|
0,001000006
|
0,0004
|
0,99999992
|
0,0001
|
0,00004
|
1
|
1E-05
|
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